LIVRE: " RESISTANCE DES MATERIAUX "- PDF

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" RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX "

Ce Livre de résistance des matériaux a pour objectif d'approfondir la mécanique des

solides élastiques, puis à partir de la mécanique des milieux continus, nous introduirons la théorie des poutres. 

Dans une première partie, nous étudierons la démarche qui nous permet l'établissement des équations de la théorie des poutres (une démarche similaire pourrait être utilisée pour les plaques et coques). 

Dans une deuxième partie, nous nous attacherons à exposer les outils classiques de la théorie des poutres: étude de cas simples, méthodes énergétiques, …etc…

La résistance des matériaux est un outil indispensable à toute modélisation en calcul des

structures. Même si d'autres méthodes (par exemple les éléments finis) sont en général

utilisées, un calcul rapide de RDM permet de vérifier les ordres de grandeur et de juger de l'opportunité d'utiliser d'autres méthodes plus complexes.

SOMMAIRE

RAPPELS DE MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS

I-CINEMATIQUE................................................................................7

I - 1 Configuration, mouvement, déplacement, ........................................7

I - 2 Déformation.............................................................................8

I - 3 Cas des petites perturbations.........................................................9

I - 4 Conditions de compatibilité .........................................................10

II - STHENIQUE................................................................................11

II -1 Forces....................................................................................11

II - 2 Contraintes ............................................................................11

II -3 Equilibre.................................................................................13

II - 4 Quelques propriétés du tenseur des contraintes.................................18

III - LOI DE COMPORTEMENT POUR LES SOLIDES ELASTIQUES..........................21

III - 1 Approche expérimentale: essai de traction ......................................21

III - 2 Loi de comportement élastique linéaire (en HPP) ..............................22

III - 3 Théorème de superposition ........................................................24

III - 4 Critères de limite d'élasticité pour les matériaux isotropes ..................24

III - 5 Thermoélasticité.....................................................................24

THEORIE DES POUTRES

I - DEFINITIONS, HYPOTHESES DE BERNOUILLI ..........................................25

I - 1 Définition d'une poutre ...............................................................25

I - 2 Notations................................................................................25

I - 3 Hypothèse de Bernouilli...............................................................26

II - DEPLACEMENTS ET FORCES GENERALISES............................................27

II - 1 Déplacement généralisé .............................................................27

II - 2 Puissance virtuelle des efforts extérieurs ........................................28

II - 3 Forces généralisées ..................................................................28

III - DEFORMATION ET CONTRAINTES GENERALISEES ...................................29

III - 1 Déformations généralisées...........................................................29

III - 2 Puissance Virtuelle des efforts intérieurs.........................................31

III - 3 Contraintes généralisées, équation d'équilibre..................................32

IV - LOI DE COMPORTEMENT ELASTIQUE LINEAIRE .....................................34

ETUDE DE SOLLICITATIONS SIMPLES

I - TRACTION OU COMPRESSION ..........................................................36

I - 1 Définition...............................................................................36

I - 2 Déformations et contraintes.........................................................36

II - TORSION..................................................................................37

II - 1 Définition..............................................................................37

II - 2 Déplacement, contraintes, déformations ........................................37

II - 3 Exemple ...............................................................................39

III - FLEXION..................................................................................40

III - 1 Flexion pure ..........................................................................40

III - 2 Flexion pure plane ..................................................................40

III - 3 Flexion plane simple ................................................................41

III - 4 Exemples .............................................................................42

III - 5 Etude de la déformation des poutres en flexion ...............................44

METHODES ENERGETIQUES

I - THEOREMES DE L'ENERGIE EN ELASTICITE LINEAIRE ................................49

I - 1 Notations et définitions ..............................................................49

I - 2 Théorème fondamental ..............................................................50

II - ENERGIE DE DEFORMATION EN RDM..................................................51

II - 1 Cas général ...........................................................................51

II - 2 Cas particulier de la Traction/Compression .....................................51

II - 3 Cas particulier de la flexion plane simple........................................52

II - 4 Cas particulier de la torsion........................................................52

III - THEOREME DE RECIPROCITE DE MAXWELL-BETTI .................................53

IV - THEOREME DE CASTIGLIANO ET APPLICATIONS....................................54

IV - 1 Théorème de Castigliano ..........................................................54

IV - 2 Conséquence: Principe du travail minimum ou théorème de Ménabréa ....55

IV - 3 Exemples ..............................................................................56

V - EQUATION DE BERTRAND DE FONTVIOLANT..........................................58

V - 1 Enoncé ..................................................................................58

V - 2 Application: Evaluation des réactions hyperstatiques surabondantes ........59

V - 3 Application: Détermination des déplacements et rotations ....................60

FLAMBEMENT

I - STABILITE D'UNE POUTRE EN COMPRESSION ..........................................62

II - ETUDE DE QUELQUES CAS SIMPLES.....................................................63

II-1 Colonne Rotule-Rotule ..................................................................63

II-2 Colonne Encastrée-Libre................................................................65

II-3 Colonne Encastrée-Rotule..............................................................65

III - GENERALISATION: FORMULE D'EULER..................................................66

IV - EXEMPLE ..................................................................................68

COMPORTEMENT AU DELA DU DOMAINE ELASTIQUE - CHARGES LIMITES

I - INTRODUCTION.............................................................................70

I-1 Critères de défaillance...................................................................70

I-2 Comportement du matériau .............................................................70

II - ANALYSE LIMITE EN TRACTION ...........................................................71

II-1 Analyse élastique..........................................................................71

II-2 Analyse élastique-plastique .............................................................72

II-3 Décharge ...................................................................................73

III - ANALYSE LIMITE A LA TORSION..........................................................74

III-1 Généralités ...............................................................................74

III-2 Exemple....................................................................................75

IV - ANALYSE LIMITE A LA FLEXION..........................................................76

IV-1 Généralités ...............................................................................76

IV-2 Exemple: Méthode "pas à pas"..........................................................77

IV-3 Théorème énergétique ..................................................................79

BIBLIOGRAPHIE..................................................................................82

ANNEXE...........................................................................................84

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