Livre: " Topographie opérationnelle "- PDF

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" Topographie opérationnelle:

 Mesures - Calculs - Dessins - Implantations "

Présentation de ce livre " Topographie opérationnelle " :

La topographie est un ensemble de techniques qui, partant de la mesure, conduisent à l'aménagement du terrain - que l'on représente désormais en 3D. 

Dans ce nouveau manuel volontairement opérationnel et abondamment illustré, on trouvera notamment la description précise des instruments de mesure et un exposé détaillé des méthodes de travail, avec calculs, dessins et techniques d'implantation. Destiné à la formation des topographes, il permettra aussi aux praticiens confirmés, de l'opérateur à l'ingénieur, d'actualiser leurs connaissances.

Table des matières

 Chapitre 1. Connaissances de base ......................................... 1 

1.1 Travaux topographiques ........................................................................ 1 

1.1.1 Le levé topographique ....................................................................... 1 

1.1.2 Les calculs topométriques .................................................................. 2 

1.1.3 Les dessins topographiques ................................................................ 2 

1.1.4 Projets d’aménagement ...................................................................... 2 

1.1.5 Implantations .................................................................................... 3 

1.1.6 Suivi et contrôle des ouvrages ............................................................ 3 

1.2 Les systèmes de coordonnées ............................................................. 3 

1.2.1 Coordonnées cartésiennes géocentriques X, Y, Z................................. 3 

1.2.2 Coordonnées géographiques λ, φ, h.................................................... 4 

1.2.3 Coordonnées planes E, N................................................................... 5 

1.2.3.1 Systèmes de projection ............................................................. 5 

1.2.3.2 Lambert Zone........................................................................ 6 

1.2.3.3 Lambert 93 ........................................................................... 8 

1.2.3.4 Conique conforme 9 zones (CC 9 zones).................................. 8 

1.2.3.5 Projection UTM (Universal Transverse Mercator) .................... 9 

1.2.3.6 Paramètres des différents systèmes............................................. 10 

1.2.4 Transformation de coordonnées.......................................................... 10 

1.2.4.1 Coordonnées géographiques λ, φ ⇔ planes E, N....................... 10 

1.2.4.2 Changement de système géodésique .......................................... 11 

1.3 Systèmes géodésiques .......................................................................... 12 

1.3.1 Les systèmes terrestres ........................................................................ 12 

1.3.1.1 La Nouvelle Triangulation de la France .................................. 12 

1.3.1.2 ED50 (European Datum 1950) ............................................ 13 

1.3.2 Les systèmes spatiaux ......................................................................... 13 

1.3.2.1 RGF93 (Réseau Géodésique Français 1993) ............................ 13 

1.3.2.2 Autres réseaux ....................................................................... 15

1.4 Les systèmes d’altitudes ....................................................................... 17 

1.4.1 Altitudes ............................................................................................ 17 

1.4.2 Réseaux de nivellement ...................................................................... 17 

1.4.3 Repères de nivellement ...................................................................... 18 

1.4.4 Hauteur et altitude ............................................................................ 21 

1.5 Observations topographiques ............................................................. 22 

1.5.1 Angles (§ 2) ....................................................................................... 22 

1.5.2 Distances (§ 3) .................................................................................. 23 

1.5.3 Dénivelées (§ 4) ................................................................................ 23 

1.5.4 Positionnement satellitaire (§ 6) ......................................................... 24 

1.6 Précision des observations.................................................................... 24 

1.6.1 Lexique ............................................................................................. 24 

1.6.2 Erreurs parasites ou fautes .................................................................. 24 

1.6.3 Erreurs systématiques ........................................................................ 25 

1.6.3.1 Erreur de justesse.................................................................... 25 

1.6.3.2 Évaluation sommaire de l’erreur de justesse .............................. 25 

1.6.3.3 Droite moyenne ..................................................................... 26 

1.6.4 Erreurs accidentelles des mesures directes ........................................... 27 

1.6.4.1 Erreur absolue ....................................................................... 27 

1.6.4.2 Répartition expérimentale ...................................................... 29 

1.6.4.3 Probabilité - Espérance mathématique .................................... 31 

1.6.4.4 Loi normale ou loi de Laplace-Gauss ....................................... 31 

1.6.4.5 Indices de dispersion .............................................................. 34 

1.6.4.6 Estimation de la moyenne ...................................................... 35 

1.6.4.7 Tolérances ............................................................................. 38 

1.6.5 Erreurs accidentelles des mesures indirectes ....................................... 38 

1.6.5.1 Principe de l’indépendance des erreurs ..................................... 38 

1.6.5.2 Composition des écarts-types d’une mesure indirecte.................. 39 

1.6.5.3 Observations d’inégales précisions - Moyenne pondérée ............. 40 

1.6.6 Classes de précision ............................................................................ 42 

1.6.6.1 Précision................................................................................ 42 

1.6.6.2 Classes .................................................................................. 42 

1.7 La carte de base ....................................................................................... 45 

1.7.1 Série bleue et TOP 25 ........................................................................ 45 

1.7.2 Exactitude.......................................................................................... 46 

1.7.3 Mesures planimétriques...................................................................... 47 

1.7.3.1 Coordonnées géographiques dans le système géodésique français 47 

1.7.3.2 Système géodésique mondial WGS84 ou RGF93....................... 48 

1.7.3.3 Coordonnées Lambert............................................................. 48 

1.7.3.4 Coordonnées UTM................................................................. 49 

1.7.3.5 Distances ............................................................................... 49 

1.7.3.6 Gisement ............................................................................... 50

 1.7.3.7 Azimut géographique.............................................................. 50 

1.7.3.8 Azimut magnétique ............................................................... 50 

1.7.3.9 Orientation de la carte ........................................................... 51 

1.7.3.10 Angle horizontal de deux directions ........................................ 51 

1.7.4 Orographie ........................................................................................ 51 

1.7.5 Exploitation de l’orographie............................................................... 52 

1.7.5.1 Pente en un point .................................................................. 52 

1.7.5.2 Altitude d’un point ................................................................ 53 

1.7.5.3 Lignes et formes caractéristiques .............................................. 53 

1.7.5.4 Coupes et profils ..................................................................... 53 

1.7.5.5 Chevelu ................................................................................ 54 

1.7.5.6 Bassin versant ........................................................................ 54 

1.7.6 La cartographie numérique ................................................................ 55 

1.7.6.1 Le Référentiel à grande échelle (RGE)...................................... 55 

1.7.6.2 La Banque de données topographiques (BD Topo) .................... 55 

1.7.6.3 Le SCAN 25 ......................................................................... 55 

1.7.6.4 Le Géoportail ........................................................................ 55 

Chapitre 2. Mesures des angles..................................................... 57 2.1 

Le théodolite ............................................................................................. 57 

2.1.1 Conception ........................................................................................ 57 

2.1.2 Pivot................................................................................................... 59 

2.1.2.1 Embase.................................................................................. 59 

2.1.2.2 Calage du pivot...................................................................... 60 

2.1.3 Cercle horizontal................................................................................ 62 

2.1.3.1 Goniomètre............................................................................ 62 

2.1.3.2 Lectures ................................................................................ 62 

2.1.3.3 Mouvements .......................................................................... 63 

2.1.4 Cercle vertical..................................................................................... 63 

2.1.5 Axe optique........................................................................................ 64 

2.1.5.1 Lunette.................................................................................. 64 

2.1.5.2 Mise au point......................................................................... 65 

2.1.5.3 Qualités d’une lunette............................................................. 66 

2.2 Précision des mesures d’angles ........................................................... 66 

2.2.1 Erreurs parasites ................................................................................. 66 

2.2.2 Erreurs systématiques ......................................................................... 67 

2.2.2.1 Défaut de verticalité du pivot.................................................. 67 

2.2.2.2 Inégalité des échelons du limbe ................................................ 67 

2.2.2.3 Excentricité des cercles............................................................. 67 

2.2.2.4 Défaut d’horizontalité de l’axe de basculement ......................... 67 

2.2.2.5 Excentricité du viseur ............................................................. 68 

2.2.2.6 Collimation horizontale.......................................................... 68 

2.2.2.7 Dérive................................................................................... 68

2.2.2.8 Correction d’index ou collimation verticale .............................. 68 

2.2.2.9 Erreur de réfraction ................................................................ 68 

2.2.3 Erreurs accidentelles ........................................................................... 68 

2.2.3.1 Erreur de centrage ................................................................. 68 

2.2.3.2 Erreur de pointé..................................................................... 68 

2.2.3.3 Erreur de lecture..................................................................... 69 

2.2.3.4 Flamboiement de l'air ............................................................ 69 

2.2.4 Écarts‑types........................................................................................ 69 

2.3 Mesurage d’un angle horizontal .......................................................... 69 

2.3.1 Mises en station.................................................................................. 69 

2.3.2 Séquence............................................................................................ 70 

2.3.3 Paires de séquences............................................................................. 71 

2.3.4 Tour d’horizon ................................................................................... 73 

2.4 Mesurage d’un angle zénithal............................................................... 75 

2.4.1 Observations ...................................................................................... 75 

2.4.2 Correction d’index ............................................................................. 75 

2.4.3 Application......................................................................................... 76 

2.5 Orientation................................................................................................. 77 

2.5.1 Orientation dans le système de projection .......................................... 77 

2.5.2 Orientation magnétique..................................................................... 77 

2.5.3 Orientation gyroscopique................................................................... 78 

2.5.4 Orientation astronomique.................................................................. 78 

Chapitre 3. Mesures des distances............................................. 81 

3.1 Mesurage au ruban ................................................................................ 81 

3.1.1 Jalonnement ...................................................................................... 81 

3.1.1.1 Jalonnement sans obstacle ....................................................... 82 

3.1.1.2 Franchissement d’une butte..................................................... 83 

3.1.1.3 Obstacle de faible largeur........................................................ 84 

3.1.1.4 Prolongement......................................................................... 84 

3.1.2 Méthodes de mesurage....................................................................... 85 

3.1.2.1 À plat ................................................................................... 85 

3.1.2.2 Étalonnage et dilatation.......................................................... 85 

3.1.2.3 Ruban suspendu horizontal .................................................... 86 

3.1.3 Précision ............................................................................................ 87 

3.1.3.1 Erreurs parasites..................................................................... 87 

3.1.3.2 Erreurs systématiques ............................................................. 87 

3.1.3.3 Erreurs accidentelles................................................................ 88 

3.1.3.4 Écarts-types............................................................................ 88 

3.1.4 Réductions des mesures à plat............................................................. 88

 3.2 Mesurage électronique........................................................................... 89 

3.2.1 Principe.............................................................................................. 89 

3.2.2 Onde modulée .................................................................................. 90 

3.2.3 Synoptique......................................................................................... 91 

3.2.3.1 Schéma.................................................................................. 91 

3.2.3.2 Réflecteur .............................................................................. 92 

3.2.4 Distancemètres de topographie........................................................... 93 

3.2.4.1 Modulaires ........................................................................... 93 

3.2.4.2 Intégrés ................................................................................. 93 

3.2.4.3 Lasers pulsés sans réflecteur...................................................... 94 

3.2.5 Précision............................................................................................. 95 

3.2.5.1 Erreurs parasites..................................................................... 95 

3.2.5.2 Erreurs systématiques .............................................................. 95 

3.2.5.3 Erreurs accidentelles ............................................................... 97 

3.2.5.4 Écarts-types............................................................................ 97 

3.2.6 Réductions des mesures électroniques des distances............................ 97 

Chapitre 4. Nivellement ......................................................................... 101 

4.1 Nivellement direct ordinaire ................................................................ 101 

4.1.1 Observations ...................................................................................... 101 

4.1.2 Niveaux et mires ................................................................................ 102 

4.1.2.1 Niveaux-blocs à nivelle torique ............................................... 102 

4.1.2.2 Niveaux automatiques ........................................................... 103 

4.1.2.3 Lecture sur mire ordinaire....................................................... 104 

4.1.2.4 Niveaux numériques, mires code-barres ................................... 105 

4.1.3 Dénivelée élémentaire......................................................................... 106 

4.1.3.1 Points en dessous du plan de visée ............................................ 106 

4.1.3.2 Points au-dessus du plan de visée............................................. 107 

4.1.4 Cheminement encadré ....................................................................... 108 

4.1.4.1 Observations.......................................................................... 108 

4.1.4.2 Calcul des altitudes ................................................................ 110 

4.1.4.3 Algorithme ............................................................................ 111 

4.1.4.4 Application............................................................................ 112 

4.1.5 Point nodal et cheminements nodaux altimétriques ........................... 112 

4.1.6 Cheminement fermé ......................................................................... 113 

4.1.7 Nivellement simultané d’un cheminement et de points de détail ........ 115 

4.1.8 Précision ............................................................................................ 116 

4.1.8.1 Erreurs parasites..................................................................... 116 

4.1.8.2 Erreurs systématiques .............................................................. 117 

4.1.8.3 Erreurs accidentelles ............................................................... 118 

4.1.8.4 Écart-type.............................................................................. 118 

4.1.8.5 Vérification et réglage de la collimation.................................... 118

4.2 Nivellement géométrique de précision .............................................. 119 

4.2.1 Matériels ............................................................................................ 119 

4.2.1.1 Niveaux à nivelle................................................................... 119 

4.2.1.2 Mire invar à double échelle..................................................... 121 

4.2.1.3 Niveaux automatiques ........................................................... 121 

4.2.2 Cheminement aller et retour .............................................................. 122 

4.2.3 Cheminement double à doubles stations ............................................ 123 

4.2.4 Cheminement double à doubles points de mire ................................. 125 

4.2.5 Précision............................................................................................. 126 

4.2.6 Nivellement géométrique motorisé .................................................... 127 

4.3 Nivellement géodésique......................................................................... 128 

4.3.1 Dénivelée instrumentale..................................................................... 128 

4.3.2 Niveau apparent................................................................................. 129 

4.3.2.1 Correction de sphéricité .......................................................... 129 

4.3.2.2 Correction de réfraction ......................................................... 130 

4.3.2.3 Correction de niveau apparent ............................................... 130 

4.3.3 Visée unilatérale ................................................................................. 130 

4.3.4 Visées réciproques non simultanées .................................................... 130 

4.3.5 Visées réciproques simultanées ........................................................... 131 

4.4 Nivellement trigonométrique................................................................ 131 

4.4.1 Visée unilatérale ................................................................................. 131 

4.4.2 Visées réciproques .............................................................................. 132 

4.4.3 Cheminements................................................................................... 133 

4.5 Canevas de nivellement ......................................................................... 134 

4.5.1 Avant‑projet et reconnaissance ........................................................... 134 

4.5.2 Projet et matérialisation ..................................................................... 135 

4.5.3 Observations et calculs ....................................................................... 135 

4.5.4 Dossier et vérification ........................................................................ 136 

Chapitre 5.Localisation terrestre.................................................. 137 

5.1 Points de canevas .................................................................................... 137 

5.1.1 Intersection ........................................................................................ 137 

5.1.2 Relèvement ........................................................................................ 137 

5.1.3 Recoupement ..................................................................................... 138 

5.1.4 Insertion ............................................................................................ 138 

5.1.5 Station libre ....................................................................................... 138 

5.2 Traitement des données ......................................................................... 138 

5.2.1 Compensation par la méthode des moindres carrés............................. 138 

5.2.1.1 Linéarisation des relations d’observation ............................... 139

5.2.1.2 Normalisation des relations d’observation............................. 139 

5.2.1.3 Résolution du système d’équations normalisées .................... 141 

5.2.2 Transformation d’Helmert ................................................................. 141 

5.2.3 Calcul en bloc .................................................................................... 142 

5.3 Canevas polygonal .................................................................................. 142 

5.3.1 Cheminements planimétriques........................................................... 142 

5.3.2 Cheminement ouvert ......................................................................... 143 

5.3.2.1 Observations.......................................................................... 143 

5.3.2.2 Calculs .................................................................................. 144 

5.3.3 Cheminement encadré ....................................................................... 148 

5.3.3.1 Observations.......................................................................... 148 

5.3.3.2 Calculs .................................................................................. 148 

5.3.4 Localisation des erreurs parasites......................................................... 154 

5.3.4.1 Erreur parasite d’observation sur un angle ............................... 154 

5.3.4.2 Erreur parasite d’observation sur une distance .......................... 156 

5.3.4.3 Erreurs simultanées d’angles ou de distances ............................. 156 

5.3.5 Point nodal et cheminements nodaux planimétriques......................... 157 

5.3.5.1 Observations.......................................................................... 157 

5.3.5.2 Calculs .................................................................................. 158 

5.3.5.3 Points nodaux multiples ......................................................... 160 

5.3.6 Cheminement fermé .......................................................................... 161 

5.3.6.1 L’orientation et les coordonnées à l’origine sont connues ............. 161 

5.3.6.2 Orientation sommaire, origine inconnue.................................. 162 

5.3.6.3 Origine inconnue, orientation du premier côté strictement imposée ................ 163 

5.3.7 Canevas de polygonation.................................................................... 163 

5.3.7.1 Cheminements principaux et cheminements secondaires ............ 163 

5.3.7.2 Désignation et matérialisation ................................................ 164 

5.3.8 Observations et calculs ....................................................................... 165 

5.3.9 Centrage forcé.................................................................................... 165 

Chapitre 6. Positionnement satellitaire.................................. 167 

6.1 Introduction .............................................................................................. 167 

6.2 Rappel sur les réseaux géodésiques .................................................. 168 

6.3 Composition du système ....................................................................... 168 

6.3.1 Le secteur Espace ............................................................................... 168 

6.3.1.1 Navstar GPS .................................................................... 168 

6.3.1.2 Glonass ........................................................................... 169 

6.3.1.3 Galileo ............................................................................ 169

6.3.2 Le secteur Contrôle............................................................................ 170 

6.3.3 Le secteur Utilisateur.......................................................................... 170 

6.4 Mesures GNSS........................................................................................... 172 

6.4.1 Principe théorique.............................................................................. 172 

6.4.2 Principe de la mesure de distance ....................................................... 172 

6.4.3 Le signal émis par un satellite GNSS .................................................. 172 

6.4.4 La mesure de distance par le code (pseudo‑distance)........................... 173 

6.4.5 La mesure de distance par la phase ..................................................... 174 

6.5 Erreurs......................................................................................................... 175 

6.5.1 Erreurs dues aux satellites ................................................................... 175 

6.5.2 Erreurs dues à la propagation du signal .............................................. 175 

6.5.3. Erreurs dues au récepteur..................................................................... 177 

6.6 Le mode différentiel................................................................................ 178 

6.6.1 Simple différence ............................................................................... 178 

6.6.2 Double différence............................................................................... 179 

6.6.3 Triple différence ................................................................................. 179 

6.7 Positionnement GNSS absolu ............................................................... 180 

6.8 Positionnement GNSS différentiel post-traité .................................. 181 

6.8.1 Positionnement différentiel statique post-traité .................................. 181 

6.8.1.1 Le statique............................................................................. 182 

6.8.1.2 Le statique rapide .................................................................. 182 

6.8.2 Positionnement différentiel cinématique post-traité (PPK)................... 182 

6.9 Positionnement GNSS différentiel temps réel.................................. 184 

6.9.1 Principe du temps réel........................................................................ 184 

6.9.2 Positionnement différentiel cinématique par la phase (RTK) ................. 184 

6.9.3 Positionnement différentiel cinématique par le code (DGPS)............. 185 

6.10 Les réseaux permanents ........................................................................ 187 

6.10.1 Intérêt ................................................................................................ 187 

6.10.2 Le réseau GNSS permanent ............................................................... 187 

6.10.3 Les réseaux temps réel ........................................................................ 188 

6.11 Missions pour la création de canevas GNSS..................................... 189 

6.11.1 Procédure de création d’un canevas GNSS : le pivot central ............... 189 

6.11.1.1 Principe................................................................................ 189 

6.11.1.2 Mise en place des points de canevas......................................... 190 

6.11.1.3 Choix du pivot central .......................................................... 190 

6.11.2 Rattachement altimétrique................................................................. 191 

6.11.3 Rattachement GNSS à un système local ............................................. 191 

6.11.4 Planification et organisation ............................................................... 192

6.12 Qualité des mesures................................................................................ 193 

6.12.1 DOP .................................................................................................. 193 

6.12.2 Redondance ....................................................................................... 194 

6.12.3 Temps d’observation .......................................................................... 195 

6.13 Post-traitement des observations ....................................................... 195 

6.13.1 Transfert des données ......................................................................... 195 

6.13.2 Calcul et validation des lignes de base ................................................ 196 

6.13.2.1 Choix du point fondamental ................................................. 196 

6.13.2.2 Choix et calcul des vecteurs .................................................... 196 

6.13.3 Ajustement......................................................................................... 197 

6.13.4 Adaptation ......................................................................................... 197 

Chapitre 7.Levé des détails et implantations ........... 199 

7.1 Levé des détails planimétriques .......................................................... 199 

7.1.1 Points à lever ...................................................................................... 199 

7.1.2 Reconnaissance .................................................................................. 200 

7.1.3 Techniques de levé ............................................................................. 201 

7.1.3.1 Limites et points..................................................................... 201 

7.1.3.2 Abscisses et ordonnées.............................................................. 202 

7.1.3.3 Multilatération des détails ...................................................... 206 

7.1.3.4 Rayonnement......................................................................... 206 

7.1.4. Saisie des données ............................................................................... 207 

7.1.5 Nuage de points 3D par scanner ........................................................ 210 

7.2 Levé du relief ............................................................................................ 211 7.2.1 Lignes caractéristiques et semis de points ........................................... 211 

7.2.2 Balayage et quadrillage ....................................................................... 213 

7.2.3 Profils................................................................................................. 213 

7.3 Tachéométrie............................................................................................. 214 

7.3.1 Instruments ....................................................................................... 214 

7.3.2 Méthodologie..................................................................................... 218 

7.3.3 Observations ..................................................................................... 219 

7.3.4 Enregistrement................................................................................... 222 

7.3.5 Géocodification ................................................................................. 223 

7.4 Implantations ........................................................................................... 224 

7.4.1 Caractères généraux ........................................................................... 224 

7.4.2 Alignements ....................................................................................... 224 

7.4.2.1 Points alignés ......................................................................... 224 

7.4.2.2 Parallèle à un mur ................................................................ 225

7.4.3 Arcs de cercle tangents à des alignements droits ................................. 226 

7.4.3.1 Points de tangence.................................................................. 226 

7.4.3.2 Abscisses et ordonnées.............................................................. 227 

7.4.3.3 Implantation polaire .............................................................. 229 

7.4.3.4 Intersection ............................................................................ 230 

7.4.3.5 Raccordement circulaire double............................................... 231 

7.4.4 Clothoïde........................................................................................... 232 

7.4.4.1 Caractéristiques géométriques et formules ................................. 232 

7.4.4.2 Calculs des éléments d’implantation ........................................ 233 

7.4.5 Piquetage planimétrique..................................................................... 235 

7.4.6 Repères altimétriques ......................................................................... 236 

7.4.7 Chronologie des travaux d’implantation............................................. 237 

Chapitre 8. Travaux topographiques spécifiques....... 241 

8.1 Bâtiment..................................................................................................... 241 

8.1.1 Levé d’intérieur ................................................................................. 241 

8.1.1.1 Saisie manuelle ...................................................................... 241 

8.1.1.2 Chaîne numérique ................................................................. 243 

8.1.2 Levé des façades ................................................................................. 243 

8.1.3 Contrôles de verticalité....................................................................... 244 

8.1.3.1 Piliers et poteaux.................................................................... 244 

8.1.3.2 Façades planes........................................................................ 245 

8.1.4 Chaises............................................................................................... 245 

8.1.5 Le GPS dans le monde de la construction .......................................... 245 

8.2 Travaux publics ......................................................................................... 246 

8.2.1 Entrées en terre et gabarits de talutage ............................................... 246 

8.2.2 Localisation et guidage des engins de chantier .................................... 248 

8.3 Topographie souterraine ........................................................................ 249 

8.3.1 Transfert au fond des canevas du jour ................................................ 249 

8.3.2 Creusement d’une galerie ................................................................... 251 

8.3.3 Contrôle des profils en travers ............................................................ 252 

8.4 Métrologie ................................................................................................. 252 

8.4.1 Métrologie géodésique ....................................................................... 252 

8.4.1.1 Autocollimation ..................................................................... 253 

8.4.1.2 Rayonnement spatial .............................................................. 254 

8.4.1.3 Intersection spatiale................................................................ 254 

8.4.1.4 Nivellement géométrique de très haute précision ....................... 255 

8.4.2 Métrologie photogrammétrique ......................................................... 255 

8.4.3 Auscultation d’ouvrage....................................................................... 256

8.5 Photogrammétrie ..................................................................................... 256 

8.5.1 Prise de vue et clichés ........................................................................ 256 

8.5.2 Photo‑interprétation .......................................................................... 258 

8.5.3 Stéréophotogrammétrie...................................................................... 258 

8.6 Bathymétrie ............................................................................................... 261 

8.7 SIG .............................................................................................................. 262 

8.7.1 Les données d’un SIG ....................................................................... 262 

8.7.2 Les utilisations d’un SIG .................................................................... 263 

8.7.3 Architecture et fonctionnalités ........................................................... 263 

8.7.4 Modélisation et articulation des données............................................ 265 

8.7.5 Les sources de données....................................................................... 265 

Chapitre 9. Calculs topométriques............................................. 267 

9.1 Modes de calcul ....................................................................................... 267 

9.1.1 Rappels mathématiques...................................................................... 267 

9.1.1.1 Trigonométrie circulaire ......................................................... 267 

9.1.1.2 Équation du second degré........................................................ 271 

9.1.1.3 Développements limités .......................................................... 271 

9.1.1.4 Dérivées et différentielles ......................................................... 271 

9.1.1.5 Géométrie ............................................................................. 273 

9.1.2 Calcul séquentiel ............................................................................... 275 

9.1.3 Traitement informatique .................................................................... 278 

9.2 Coordonnées ............................................................................................. 278 

9.2.1 Conversions ....................................................................................... 278 

9.2.1.1 Conversion des coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires (P → R) ....... 278 

9.2.1.2 Conversion des coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires (R → P) ........ 279

9.2.1.3 Application............................................................................ 280 

9.2.1.4 Distance d’un point à une droite ............................................ 282 

9.2.2 G0 de station...................................................................................... 282 

9.2.3 Stations excentrées.............................................................................. 284 

9.2.4 Rattachement – rabattement .............................................................. 286 

9.2.5 Changement de repère orthonormé ................................................... 287 

9.2.5.1 Angle des repères..................................................................... 287 

9.2.5.2 Formules .............................................................................. 288 

9.2.5.3 Algorithme............................................................................. 289 

9.2.5.4 Application .......................................................................... 291

9.3 Intersections de droites et de cercles ................................................. 293 

9.3.1 Intersection de deux visées.................................................................. 293 

9.3.2 Intersection de deux droites ............................................................... 294 

9.3.3 Intersection de deux cercles ................................................................ 296 

9.3.4 Centre et rayon d’un cercle défini par les coordonnées de trois de ses points ............... 297 

9.3.5 Relèvement sur trois points ................................................................ 297 

9.3.5.1 Intersection des arcs capables ................................................... 298 

9.3.5.2 Relèvement italien.................................................................. 301 

9.3.5.3 Formule de Delambre............................................................. 302 

9.3.6 Relèvement double............................................................................. 303 

9.3.7 Intersection d’une droite et d’un cercle............................................... 304 

9.3.8 Intersection d’une visée et d’un arc capable........................................ 305 

9.4 Superficies ................................................................................................. 305 

9.4.1 Superficies graphiques ........................................................................ 305 

9.4.1.1 Décomposition d’un polygone en triangles et en trapèzes ............ 305 

9.4.1.2 Surfaces à limites sinueuses ..................................................... 306 

9.4.1.3 Planimètres ........................................................................... 306 

9.4.1.4 Surfaces digitalisées ................................................................ 309 

9.4.1.5 Jeu du papier ......................................................................... 310 

9.4.2 Superficies numériques élémentaires................................................... 312 

9.4.2.1 Triangles................................................................................ 312 

9.4.2.2 Trapèzes ................................................................................ 314 

9.4.2.3 Quadrilatères......................................................................... 316 

9.4.2.4 Secteur et segment circulaires................................................... 317 

9.4.3 Superficie d’un polygone défini en coordonnées polaires .................... 317 

9.4.4 Superficie d’un polygone défini en coordonnées rectangulaires ........... 319 

9.4.4.1 Superficie positive .................................................................. 319 

9.4.4.2 Superficie négative ................................................................. 320 

9.4.4.3 Polygone quelconque............................................................... 320 

9.4.5 Formule polygonale ou formule de Sarron ......................................... 322 

9.4.5.1 Notations ............................................................................. 322 

9.4.5.2 Formule ............................................................................... 322 

9.4.5.3 Calcul direct du côté inconnu .............................................. 325 

9.4.5.4 Calcul des angles inconnus ................................................... 326 

9.4.5.5 Arrondis et troncatures ......................................................... 327 

9.4.6 Redressement des limites.................................................................... 327 

9.4.6.1 Segment de redressement ..................................................... 327 

9.4.6.2 Ligne brisée .......................................................................... 328 

9.5 Divisions des surfaces ............................................................................ 330 

9.5.1 Triangles ............................................................................................ 330

9.5.2 Trapèzes ............................................................................................. 335 

9.5.3 Quadrilatères ..................................................................................... 337 

9.6 Calculs itératifs ......................................................................................... 344 

9.6.1 Racines d’une équation a une inconnue ............................................. 344 

9.6.1.1 Approximations successives ...................................................... 344 

9.6.1.2 Linéarisation ou méthode de Newton ...................................... 345 

9.6.1.3 Dichotomie............................................................................ 346 

9.6.1.4 Incrémentation ...................................................................... 347 

9.6.2 Algorithmes itératifs ........................................................................... 348 

Chapitre 10. Dessins et plans ........................................................... 353 

10.1 Dessins ...................................................................................................... 353 

10.1.1 Minutes et calques ............................................................................. 353 

10.1.2 Reports par multilatération ................................................................ 354 

10.1.3 Quadrillage et points connus en coordonnées ; échelles 1/100 à 1/5 000 ................... 357 

10.1.4 Dessin des courbes de niveau ............................................................. 359 

10.1.5 Profils ................................................................................................ 360 

10.1.5.1 Tracé en plan ....................................................................... 360 

10.1.5.2 Profil en long ........................................................................ 364 

10.1.5.3 Profils en travers ................................................................... 369 

10.1.6 Cubature des terrassements ................................................................ 374 

10.1.6.1 Principe ............................................................................... 374 

10.1.6.2 Moyenne des aires ................................................................. 375 

10.1.6.3 Distances des profils encadrants à la ligne de passage ................ 377 

10.1.6.4 Moyenne des entre-profils ....................................................... 378 

10.1.6.5 Cubature simplifiée ............................................................... 382 

10.2 Plans numériques .................................................................................... 383 

10.2.1 Infographie ........................................................................................ 383 

10.2.1.1 Levé et saisie des données ....................................................... 384 

10.2.1.2 Constitution du fichier-points ................................................ 384 

10.2.1.3 Établissement du fichier-dessin ............................................... 384 

10.2.1.4 Dessins ................................................................................. 385 

10.2.1.5 Incorporation des résultats dans un SIG .................................. 385 

10.2.2 Les logiciels ........................................................................................ 385 

10.2.2.1 La modélisation .................................................................... 385 

10.2.2.2 Les entités ............................................................................. 386 

10.2.2.3 Les commandes utiles............................................................. 387 

10.2.3 Interactivité........................................................................................ 387

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